Différentielle d'ordre supérieur
Définition
Définition :
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels normés et \(U\) un ouvert de \(E\)
On dit que \(f:U\to F\) est \(k\) fois différentiable en \(a\in E\) si \(f\) est différentiable sur un voisinage de \(a\) et si \(df\) est \(k-1\) fois différentiable en \(a\) (définition par récurrence)
On définit ainsi des différentielles d'ordre \(k\) que l'on associe à des applications \(k\)-linéaires : $$d^kf(a)\in\mathcal L_{k,c}(E^k,F)$$
(
Différentielle - Différentiabilité,
Différentielle seconde)
\(\longrightarrow\)
Classe de fonctions
\(\longrightarrow\)
Difféomorphisme
Propriétés
Cas d'une fonction multi-linéaire
Proposition :
Si \(f\) est \(p\)-linéaire, alors \(d^kf=0\) pour tout \(k\gt p\)
Règle de la chaîne
Proposition :
Si \(f\) est \(k\) fois différentiable en \(a\) et \(g\) est \(k\) fois différentiable en \(f(a)\), alors \(g\circ f\) est \(k\) fois différentiable en \(a\)
Démonstration en exercice
Caractérisation des \(\mathcal C^k\)-difféomorphisme
Lemme :
Soient \(E,F\) des espaces de Banach
L'ensemble \(\operatorname{Isom}(E,F)\) des applications linéaires continues bijectives de \(E\) vers \(F\) est un ouvert de \(\mathcal L_C(E,F)\)
De plus, l'application \(\theta:\begin{align}\operatorname{Isom}(E,F)&\longrightarrow\operatorname{Isom}(E,F)\\ U&\longmapsto U^{-1}\end{align}\) est de classe \(\mathcal C^\infty\)
(
Espace de Banach)